Itertools dan Kombinatorika untuk Probabilitas dan Statistika

Modul math dan itertools sangat berguna untuk menghitung banyaknya cara pada masalah probabilitas dan statistika:

• berapa banyak cara menyusun objek (permutasi),

• berapa banyak cara memilih objek (kombinasi),

• berapa besar ruang sampel percobaan (Cartesian product),

• serta menghitung peluang dari ruang sampel tersebut.

Di bab ini kita fokus pada fungsi-fungsi yang paling relevan untuk perkuliahan Probabilitas dan Statistika.

---

Faktorial

Secara matematis, faktorial didefinisikan sebagai:

[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n,\quad 0! = 1 ]

Di Python, faktorial tersedia di modul math:

import math

print(math.factorial(5))   # 120  (5! = 1*2*3*4*5)
print(math.factorial(0))   # 1    (0! didefinisikan = 1)

# Contoh: berapa banyak cara menyusun 4 orang dalam 4 kursi?
n = 4
print(math.factorial(n))   # 24 cara

Faktorial adalah fondasi utama untuk permutasi dan kombinasi.

---

Permutasi (Urutan Penting)

Dalam probabilitas, permutasi menghitung banyaknya cara menyusun (r) objek dari (n) objek dengan memperhatikan urutan:

[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} ]

Di Python, kita bisa:

• menggunakan math.perm(n, r) (Python 3.8+),

• menggunakan rumus dengan math.factorial, atau

• menghasilkan semua susunan dengan itertools.permutations.

Cara Praktis dengan math.perm

import math

print(math.perm(5, 2))  # 20
print(math.perm(4, 4))  # 24

Rumus dengan math.factorial

import math

def permutasi_rumus(n, r):
    return math.factorial(n) // math.factorial(n - r)

print(permutasi_rumus(5, 2))  # 20
print(permutasi_rumus(4, 4))  # 24

itertools.permutations

from itertools import permutations

items = ["A", "B", "C"]

print("Permutasi 2 dari [A, B, C]:")
for p in permutations(items, 2):
    print(p)

# Hitung banyaknya permutasi 2 dari 3
jumlah_perm = sum(1 for _ in permutations(items, 2))
print("Jumlah permutasi:", jumlah_perm)  # 6

Ini sesuai dengan rumus:

[ P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 6 ]

---

Kombinasi (Urutan Tidak Penting)

Kombinasi menghitung banyaknya cara memilih (r) objek dari (n) objek tanpa memperhatikan urutan:

[ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!} ]

Di Python, pendekatan yang paling ringkas untuk menghitung banyaknya kombinasi adalah math.comb(n, r).

Cara Praktis dengan math.comb

import math

print(math.comb(5, 2))  # 10
print(math.comb(6, 3))  # 20

Rumus dengan math.factorial

import math

def kombinasi_rumus(n, r):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(r) * math.factorial(n - r))

print(kombinasi_rumus(5, 2))  # 10
print(kombinasi_rumus(6, 3))  # 20

itertools.combinations

from itertools import combinations

items = ["A", "B", "C"]

print("Kombinasi 2 dari [A, B, C]:")
for c in combinations(items, 2):
    print(c)

jumlah_comb = sum(1 for _ in combinations(items, 2))
print("Jumlah kombinasi:", jumlah_comb)  # 3

Di sini hanya ada 3 kombinasi:

• ("A", "B")

• ("A", "C")

• ("B", "C")

Sedangkan susunan ("B", "A") tidak dihitung terpisah karena urutan tidak penting.

---

Kombinasi dengan Pengulangan

Kadang kita boleh mengambil elemen yang sama lebih dari sekali. Secara matematis, banyaknya kombinasi dengan pengulangan dari (n) jenis objek yang diambil (r) kali adalah:

[ \binom{n + r - 1}{r} ]

Di Python, kita bisa menggunakan itertools.combinations_with_replacement:

from itertools import combinations_with_replacement

rasa = ["vanila", "coklat", "stroberi"]

print("Pilih 2 sendok es krim (boleh rasa yang sama):")
for combo in combinations_with_replacement(rasa, 2):
    print(combo)

Contoh di atas memodelkan situasi seperti “stars and bars” dalam kombinatorika (membagi r item identik ke n kategori).

---

Peringatan

Untuk n besar, hindari list(...) pada hasil itertools karena dapat menghabiskan memori. Gunakan iterator langsung atau hitung dengan rumus (math.perm, math.comb) jika hanya membutuhkan jumlahnya.

Cartesian Product dan Ruang Sampel

Dalam probabilitas, ruang sampel untuk dua percobaan independen dapat dibentuk dengan Cartesian product:

[ S = A \times B = {(a, b) \mid a \in A,; b \in B} ]

Di Python, ini dilakukan dengan itertools.product.

Contoh: Dua kali lempar koin

from itertools import product

koin = ["H", "T"]  # H = Head, T = Tail

ruang_sampel = list(product(koin, repeat=2))

print("Ruang sampel dua kali lempar koin:")
for outcome in ruang_sampel:
    print(outcome)

print("Jumlah outcome:", len(ruang_sampel))  # 4

Hasil:

• ("H", "H")

• ("H", "T")

• ("T", "H")

• ("T", "T")

Sehingga peluang memperoleh tepat satu kali H adalah:

[ P(\text{satu H}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

Contoh: Dua dadu enam sisi

from itertools import product

dadu = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

ruang_sampel = list(product(dadu, repeat=2))
print("Jumlah outcome:", len(ruang_sampel))  # 36

# Peluang jumlah mata dadu = 7
jumlah_7 = [pair for pair in ruang_sampel if sum(pair) == 7]

print("Outcome dengan jumlah 7:", jumlah_7)
print("Banyaknya:", len(jumlah_7))
print("Peluang:", len(jumlah_7) / len(ruang_sampel))

Secara teori, ada 6 pasangan yang jumlahnya 7:

• (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

Jadi:

[ P(\text{jumlah} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} ]

---

Contoh Aplikasi Terpadu

Contoh 1: Memilih Panitia (Kombinasi)

Misalkan ada 10 mahasiswa dan akan dipilih 3 orang sebagai panitia (tanpa peran khusus). Berapa banyak kombinasi panitia yang mungkin?

import math

n = 10  # jumlah mahasiswa
r = 3   # jumlah yang dipilih

jumlah_cara = math.factorial(n) // (math.factorial(r) * math.factorial(n - r))
print("Banyak cara memilih panitia:", jumlah_cara)  # 120

Jika setiap panitia dipilih secara acak dari 10 mahasiswa tanpa penggantian, maka:

[ P(\text{suatu kombinasi tertentu}) = \frac{1}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120} ]

Contoh 2: Permutasi Kursi (Urutan Penting)

Ada 5 mahasiswa dan 3 kursi di baris depan. Berapa banyak cara menyusun siapa duduk di mana?

import math

n = 5
r = 3

jumlah_cara = math.factorial(n) // math.factorial(n - r)
print("Banyak cara menyusun mahasiswa di kursi:", jumlah_cara)  # 60

Di sini urutan kursi penting, sehingga kita memakai permutasi, bukan kombinasi.

---

Ringkasan

• Gunakan math.perm(n, r) dan math.comb(n, r) untuk menghitung jumlah permutasi/kombinasi secara langsung.

• Gunakan math.factorial jika Anda sedang mempelajari turunan rumus secara manual.

• Gunakan itertools.permutations ketika urutan penting (penyusunan).

• Gunakan itertools.combinations ketika urutan tidak penting (pemilihan).

• Gunakan itertools.combinations_with_replacement ketika pemilihan boleh mengulang elemen yang sama.

• Gunakan itertools.product untuk membangun ruang sampel percobaan majemuk (Cartesian product), sehingga peluang bisa dihitung sebagai (\text{jumlah kasus menguntungkan} / \text{jumlah semua kasus}).